erdi/Parties/chap1_1.tex

L'algorithme du bruit de Perlin se décompose en 3 parties que sont:
\begin{enumerate}
    \item la définition de la grille.
    \item le calcul du produit scalaire entre le vecteur gradiant et le vecteur
    distance.
    \item l'interpolation entre ces valeurs.
\end{enumerate}


Pour la définitionde la grille, il faut définir une grille à $n$ dimensions.
Attribuer pour chaque nœud un vecteur de gradient aléatoire de norme 1 et de
dimension $n$.
\newline

Pour ce qui concerne le produit scalaire, nous faisons comme suit:

Soit un point de l'espace à $n$-dimensions envoyé à la fonction de bruit,
l'étape consiste à déterminer dans quelle cellule de grille le point donné se
situe. Pour chaque nœud-sommet de cette cellule, calculer le vecteur distance
entre le point et le nœud-sommet. Puis calculer le produit scalaire entre le
vecteur de gradient au nœud et le vecteur de distance. Cela conduit à l'échelle
de complexité $O(2^{n})$.
\newline

La dernière étape est l'interpolation entre les $2^{n}$ produits scalaires
calculés aux nœuds de la cellule contenant le point d'argument. Cela a pour
conséquence que la fonction de bruit renvoie 0 lorsqu'elle est évaluée sur les
nœuds de la grille eux-mêmes.

L'interpolation est effectuée en utilisant une fonction dont la dérivée première
(et éventuellement la dérivée seconde) est nulle aux $2^{n}$ nœuds de la grille.
Cela a pour effet que le gradient de la fonction de bruit résultante à chaque
nœud de grille coïncide avec le vecteur de gradient aléatoire précalculé.
\newline

Voici une version C++ de l'implantation du bruit de Perlin à 2 dimensions:

\begin{minted}{c++}
// Function to linearly interpolate between a0 and a1
// Weight w should be in the range [0.0, 1.0]
float lerp(float a0, float a1, float w) {
    return (1.0 - w)*a0 + w*a1;

    // as an alternative, this slightly faster equivalent
    // formula can be used:
    // return a0 + w*(a1 - a0);
}

// Computes the dot product of the distance and gradient
// vectors.
float dotGridGradient(int ix, int iy,
                      float x, float y) {

    // Precomputed (or otherwise) gradient vectors at each
    // grid node
    extern float Gradient[IYMAX][IXMAX][2];

    // Compute the distance vector
    float dx = x - (float)ix;
    float dy = y - (float)iy;

    // Compute the dot-product
    return (dx*Gradient[iy][ix][0] + dy*Gradient[iy][ix][1]);
}

// Compute Perlin noise at coordinates x, y
float perlin(float x, float y) {

    // Determine grid cell coordinates
    int x0 = int(x);
    int x1 = x0 + 1;
    int y0 = int(y);
    int y1 = y0 + 1;

    // Determine interpolation weights
    // Could also use higher order polynomial/s-curve here
    float sx = x - (float)x0;
    float sy = y - (float)y0;

    // Interpolate between grid point gradients
    float n0, n1, ix0, ix1, value;
    n0 = dotGridGradient(x0, y0, x, y);
    n1 = dotGridGradient(x1, y0, x, y);
    ix0 = lerp(n0, n1, sx);
    n0 = dotGridGradient(x0, y1, x, y);
    n1 = dotGridGradient(x1, y1, x, y);
    ix1 = lerp(n0, n1, sx);
    value = lerp(ix0, ix1, sy);

    return value;
}
\end{minted}