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\title{Génération de maillages anisotropes}
\author[Jérémy André, Cyril Colin et Christine Cozzolino]
       {Jérémy André$^1$, Cyril Colin$^1$ et Christine Cozzolino$^1$
         \\
         $^1$Aix-Marseille Université}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
  Nous étudions dans ce rapport la génération de maillages volumiques
  anisotropes à partir de maillages surfaciques. Nous commençons par
  une analyse des travaux de la thèse de Mael
  Rouxel-Labbé\cite{rouxellabbe:tel-01419457}. Nous redéfinissons
  ensuite les objectifs du projet, et présentons notre méthode pour y
  répondre. Enfin, nous analysons les résultats obtenus.
\end{abstract}

\keywords{Génération de maillages, Maillages volumiques, Anisotropie}

\section{Présentation du sujet}
Les maillages volumiques sont des structures qui représentent la
surface mais aussi l'intérieur d'un objet, contrairement aux maillages
surfaciques classiques. Ils sont composés de cellules qui sont des
polyèdres liés entre eux par leurs sommets, et peuvent être agencés de
manière structurée ou non structurée. Un maillage volumique peut par
exemple être un assemblage de voxels, auquel cas le maillage est
structuré et les cellules sont des cubes.

Une des applications de ces maillage est dans le domaine de la
simulation, où l'on peut discrétiser un problème continu en se servant
des cellules du maillage comme base de la discrétisation.

Dans certains domaines, comme par exemple la mécanique des fluides,
les conditions de la simulation rendent innéficace un maillage
structuré : leur résolution fixe limite la précision dans les zones
« intéressantes » comme celles ou un fluide intéragit avec une
surface, tout en étant inutilement coûteuse dans les zones moins
intéressantes.

En plus d'augmenter la résolution dans les zones intéressantes, la
précision des calculs peut aussi être augmentée en adaptant la forme
des cellules aux conditions locales : il faut donc que celles-ci
puissent être irrégulières pour pouvoir les transformer et étirer pour
les adapter.

Ainsi, l'utilisation de maillages volumiques non structurés s'est
imposée comme solution pour tous les problèmes de ce type, posant
cependant l'autre problème qu'est leur génération.

\section{Présentation de la thèse}
\section{Justification de la non-utilisation des travaux de la thèse}
La thèse de Rouxel-Labbé offre une excellente introduction du domaine
et des méthodes utilisées, mais les résultats des approches qu'elle
développe sont peu satisfaisant.
\begin{quote}
  We have sought approaches that combine theoretical soundness, that
  is the capacity to prove that the desired result is obtained under
  certain conditions, and practicality. Our results are mixed: while
  we have proposed a number of methods that were all provably correct,
  none of these methods were universally practical.
\end{quote}
De plus, parmis les approches proposées, celle qui présente les
meilleurs résultats à le défaut d'être lourde en temps de calcul sur
des maillages surfaciques. L'adapter à des maillages volumiques la
rendrait donc encore moins pratiquable.

\section{Redéfinition des objectifs}
Au vu de la complexité du problème, notre encadrant à décidé de
redéfinir nos objectifs.

Nous partons désormais d'un maillage volumique tétrahédrique existant
mais qui approxime que grossièrement le maillage surfacique, et devons
tenter de le rendre plus fidèle au maillage surfacique en évitant de
dégrader la qualité.

%-----------------------------------------------------------------------
\section{Redéfinition de nos objectifs}
La thèse de Rouxel-Labbé présente une excellente introduction du
domaine en plus d'un état de l'art remarquable, mais les approches
qu'elle propose restent assez limitée. L’auteur lui-même indique
que bien que prouvablement correctes, elles sont limitées dans leurs
applications. De plus, une des méthodes présentées qui fournit les
meilleurs résultats à le défaut d'être coûteuse en temps de calcul,
défaut qui ne ferait que s'aggraver si on la traduisait dans le
domaine des maillages volumiques.

Pour cette raison, et au vu de la complexité de la tâche, notre
encadrant a redéfini nos objectifs : il s'agit désormais de prendre un
maillage tétraédrique généré à partir d'un maillage surfacique de
manière simpliste, et de l'adapter pour réduire l'écart entre le
maillage surfacique et le maillage tétraédrique sans trop dégrader la
qualité de celui-ci.
%-----------------------------------------------------------------------
\section{Résultats et validation}
Notre méthode présente des résultats en demi-teinte. Elle réussi
effectivement à grandement diminuer la distance entre le maillage
polygonal source et le maillage tétraédrique, mais pas sans générer
par endroit des zones de très faible qualité. De plus, elle ne peut
pas toujours corriger les défauts causés par la tétraédrisation
initiale.

Les points les plus éloignés du maillage surfacique après application
de notre méthode sont en effet ceux où trop de détails et de géométrie
ont été perdus dans la tétrahédrisation (voir figure
\ref{fig:cow-head}). On peut également y voir un défaut de notre
méthode de projection qui choisit les points les plus proches.

\begin{figure*}
  \centering
  \begin{tabular}{ccc}
    \includegraphics[width=4.7cm]{img/cow-head-poly.png} &
    \includegraphics[width=4.7cm]{img/cow-head-tet.png} &
    \includegraphics[width=4.7cm]{img/cow-head-tet-out.png} \\
  \end{tabular}
  \caption{Tête de la vache dans le maillage polygonal source, le
    maillage tétraédrique initial, et le maillage tétraédrique après
    application de notre méthode, de gauche à droite respectivement.}
  \label{fig:cow-head}
\end{figure*}

L'étape de relaxation améliore la qualité du maillage en minimisant le
nombre de cellules qui ont des angles faibles. Cependant en faire plus
d'une itération dégrade le maillage plus que de ne pas faire de
relaxation du tout. Les angles moins faibles ne sont eux que peu
affectés (Voir figure \ref{fig:courbe-relaxation}).

\begin{figure*}
  \centering
  \includegraphics[width=14cm]{img/influence-relaxation.png} \\
  \caption{Influence de la relaxation sur les angles dièdres}
  \label{fig:courbe-relaxation}
\end{figure*}

Pour ce qui est du rayon d'action de la modification proportionelle,
un multiplicateur de rayon de 3 réduit grandement la proportion de
cellules avec des angles très faible, mais au-delà de ça l'effet est
négligeable (Voir figure \ref{fig:courbe-rayon}).

\begin{figure*}
  \centering
  \begin{tabular}{cc}
    \includegraphics[width=8cm]{img/influence-rayon-0-3.png} &
    \includegraphics[width=8cm]{img/influence-rayon-5-20.png} \\
  \end{tabular}
  \caption{Influence du rayon de modification proportionelle sur les
    angles dièdres}
  \label{fig:courbe-rayon}
\end{figure*}

\newpage
\bibliography{rapport}
\bibliographystyle{refig-alpha}

\end{document}